Probabilidad de sucesos simples y compuestos mutuamente excluyentes en Python


Autor: Eugenia Bahit

Espacio muestral

Un espacio muestral es un conjunto de sucesos posibles, como los que podrían resultar al lanzar un dado:

E=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}

espacio_muestral = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

Se refiere como punto muestral a cada elemento en un espacio muestral. La cantidad de puntos muestrales se denota por n tal que para el espacio muestral E=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}, n=6.

n = len(espacio_muestral)


Sucesos simples y compuestos

Un suceso, es un conjunto de resultados dentro de un espacio muestral. Por ejemplo:

  • el lanzamiento de un dado es un suceso
  • la probabilidad de que en dicho lanzamiento salga el número 5, es un suceso simple A=\{5\} y es excluyente: si sale 5, no puede simultáneamente salir ningún otro número.
  • la probabilidad de que en el lanzamiento salga un número impar, es el suceso compuesto B=\{1,3,5\} que dependerá a su vez de los sucesos simples excluyentes B_{1}=\{1\}, B_{2}=\{2\} y B_{3}=\{3\}

Asignación de probabilidades

La asignación de probabilidades es aquella que provee modelos matemáticos para calcular las posibilidades de que sucesos específicos ocurran o no.

La probabilidad de un suceso se denota por P(suceso).

Los sucesos pueden ser:

  • simples o compuestos
  • mutuamente excluyentes o independientes

Sucesos simples mutuamente excluyentes

Si se considera un espacio muestral A , cada uno de los puntos muestrales k , quedará denotado por A_{k} y la probabilidad de éstos, designada como P(A_{k}) , quedará determinada por:

P(A_{k})=\frac{1}{n}

probabilidad = 1.0 / n

En Python, se requiere que al menos un elemento de la ecuación sea un número real si lo que se requiere como resultado es un número real.

La probabilidad de cada punto muestral, como sucesos excluyentes entre sí, es la misma para cada suceso.

P(6)=P(5)=P(4)=P(3)=P(2)=P(1)=\frac{1}{n}=\frac{1}{6}


Sucesos compuestos por sucesos simples mutuamente excluyentes

Cuando los sucesos simples que conforma al suceso compuesto A son mutuamente excluyente, la probabilidad del suceso compuesto estará dada por la suma de las probabilidades de cada suceso simple P(A_{k}), tal que:

P(A)=P(A_{1})+P(A_{2})+...+P(A_{k})

Por ejemplo, para estimar la probabilidad de que en un único lanzamiento de dado, salga un número par, se obtiene el suceso A=\left\{ 2,4,6\right\} , dado por suma de las probabilidades de cada uno de sucesos simples P(2)+P(3)+P(4) del espacio muestral E=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} tal que:

\begin{array}{l} P(A)=P(2)+P(4)+P(6)\\ P(A)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{6}}\\ P(A)=\frac{1}{2} \end{array}

En el primer resultado \frac{3}{6} (en el segundo paso, antes de hallar el máximo común divisor [MCD] y reducir la fracción a \frac{1}{2}), el denominador es equivalente a la cantidad de sucesos simples dentro del suceso compuesto «números pares» y se denota por h. El denominador, 6, es n, el total de todos los sucesos del espacio muestral. De esta forma, la probabilidad de un suceso compuesto A por sucesos mutuamente excluyentes queda dada por el cociente de h y n tal que:

P(A)=\frac{h}{n}

numeros_pares = [i for i in espacio_muestral if i % 2 is 0]
h = len(numeros_pares)
probabilidad = float(h) / n

Un suceso compuesto se puede denotar por la unión de sus sucesos simples (símbolo \cup, leído como "o"), tal que:

P(A_{1}\cup\, A_{2}\cup...A_{k})=P(A_{1})+P(A_{2})+...A_{k}

Por ejemplo, para el caso del suceso «números pares», se obtiene que:

\begin{array}{l} P(2\cup4\cup6)=P(2)+P(4)+P(6)\\ P(2\cup4\cup6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{6}}\\ P(2\cup4\cup6)=\frac{1}{2} \end{array}

Tal que P(2\cup4\cup6) es un suceso y P(2), P(4) y P(6) son las probabilidades de los tres sucesos que lo componen. En un nuevo contexto, P(2\cup4\cup6) puede ser tratado como un suceso A.


Funciones

# Probabilidad de sucesos simples mutuamente excluyentes
pssme = lambda e: 1.0 / len(e)


# Probabilidad de sucesos compuestos mutuamente excluyentes
def pscme(e, sc):
    n = len(e)
    return len(sc) / float(n)


Bibliografía complementaria

[0] Probabilidad y Estadística, Murray Spiegel. McGraw-Hill, México 1988. ISBN: 968-451-102-7

© EUGENIA BAHIT 2015, 2016, 2017 - CC-BY 4.0
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